pn结

〇、基本概念

空间电荷区（耗尽层）：p区空穴扩散出去后留下的负离子区与n区电子扩散出去后留下的正离子区的统称。名称由来：这地方只有固定的离子，载流子都没了。

空间电荷区会形成内建电场，方向由n区指向p区。

势垒电容（结电容）：由空间电荷区两侧异号电荷所构成的电容称为势垒电容。

PN结的击穿：当反偏电压达到一定值时，反偏电流会迅速增大，这一现象称为击穿。击穿的机理有齐纳击穿和雪崩击穿两种。

齐纳击穿的机理是重掺杂PN结的隧穿机制。在重掺杂条件下，p区价带与n区导带相距近，反偏电压可以轻易地使p区价带电子穿越到n区导带，形成击穿电流。雪崩击穿的机理则是在高反偏电压下，高能量的电子撞击其他电子使载流子数量雪崩式增长的效果。雪崩击穿是PN结的主要击穿机制。

一、PN结的内建电场

本节先由费米能级的变化定义电势，由PN结两侧电势差得出PN结的内建电压，再积分得出内建电场，再综合以上结果得出空间电荷区宽度和势垒电容的表达式。

PN结的一维模型： $-x_{p} \leq x \leq 0$ 为掺杂浓度为 $N_{a}$ 的p区，$0 \leq x \leq x_{n}$为掺杂浓度为$N_{d}$ 的n区。空间电荷区宽度 $W=x_{p}+x_{n}$ 。

1.1 内建电压

要想求解耗尽层的内建电压，首先要分别得出两侧的电势，而电势是需要基准值的，基准值怎么定呢？由于本征半导体掺杂之后，材料的费米能级发生了变化（ $n_{0}=n_{i} \mathrm{e}^{-\frac{E_{F i}-E_{F}}{k T}}$ ），因此不妨把本征费米能级 $E_{F i}$ 对应的电势设为0。

p区耗尽层是负离子，因此 $-e \phi_{p}=E_{F}-E_{F i}$ ；同理，n区 $e \phi_{n}=E_{F}-E_{F i}$

（PS：掺入施主杂质后，材料的费米能级会高于本征费米能级，这一结论也可以定性地理解：施主杂质比本征半导体多一个易于进入导带的电子，其能量比本征半导体的价电子更高，因此要想在0K时所有价电子都低于费米能级，这一费米能级必然比本征费米能级要高。）
$$\begin{array}{l}{N_{a}=p_{0}=n_{i} \mathrm{e}^{+\frac{E_{F i}-E_{F}}{k T}}=n_{i} \mathrm{e}^{-\frac{e \phi_{p}}{k T}} \Rightarrow \phi_{p}=-\frac{k T}{e} \ln \left(\frac{N_{a}}{n_{i}}\right)} \\ {N_{d}=n_{0}=n_{i} \mathrm{e}^{-\frac{E_{F i}-E_{F}}{k T}}=n_{i} \mathrm{e}^{\frac{e \phi_{n}}{k T}} \Rightarrow \phi_{n}=\frac{k T}{e} \ln \left(\frac{N_{d}}{n_{i}}\right)}\end{array}$$
取由n到p为内建电压(Built-in Voltage)的正方向，则

$$V_{b i}=\phi_{n}-\phi_{p}=\frac{k T}{e} \ln \left(\frac{N_{a} N_{d}}{n_{i}^{2}}\right)$$

1.2 内建电场

内建电场的求解使用麦克斯韦方程组的第一个方程：$\nabla \cdot E=\frac{\rho}{\varepsilon}$

①一维情形， $\nabla \cdot E$ 化简为 $\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} x}$ ；

②电荷密度 $x\rho=\left\{\begin{array}{ll}{-e N_{a},} & {-x_{p} \leq x \leq 0} \\ {e N_{d},} & {0 \leq x \leq x_{n}}\end{array}\right.$
③边界条件：认为空间电荷区之外没电场，故 $E\left(x_{n}\right)=0, E\left(-x_{p}\right)=0$ （可见，电场的绝对值在交界面最大）

电场 $E(x)$的表达式略去。

$E(x)$必定是连续的，由 $E\left(0^{+}\right)=E\left(0^{-}\right)$ 可知 $N_{a} x_{p}=N_{d} x_{n}$ 。此式说明，一侧掺杂浓度越高，其耗尽层宽度越窄。

1.3 空间电荷区宽度

求出电场分布 $E(x)$，便可求出电势分布 $\phi(x)$ ： $E(x)=-\frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} x} \Leftrightarrow \phi=\int_{x}^{+\infty} E(x) \mathrm{d} x$ ，或 $\phi=-\int E(x) \mathrm{d} x$

这里积分上限+∞的意思是电势为0点，在PN结中，电势为0点选取为 [公式] 点，分段积分可推出电势 [公式]的表达式，从而建立内建电压和p区，n区宽度的关系为

[公式]

再联立 [公式] ，可反过来求出p区耗尽层长度 [公式] ，n区耗尽层长度 [公式] 关于 [公式] 的表达式。

因为空间电荷区宽度 [公式]，所以我们得到

[公式]

1.4 反偏电压

设在PN结两端加反向电压 [公式] ，由于 [公式] 与 [公式] 同向，故耗尽层宽度

[公式]

还可以探讨最大电场强度的变化（略）。

1.5 势垒电容

定义式： $C^{\prime}=\frac{\mathrm{d} Q^{\prime}}{\mathrm{d} V_{R}}$

注：①势垒电容是一个随反偏电压变化的非线性电容，所以是对 $V_{R}$ 求导

②打撇代表单位面积

求解方法一： $\mathrm{d} Q^{\prime}=\rho \mathrm{d} x=e N_{a} \mathrm{d} x_{p}\left(=e N_{d} \mathrm{d} x_{n}\right)$ ，因此只需计算 $\frac{\mathrm{d} x_{p}}{\mathrm{d} V_{R}}$ 即可。结果是

$C^{\prime}=\sqrt{\frac{e \varepsilon N_{a} N_{d}}{2\left(V_{b i}+V_{R}\right)\left(N_{a}+N_{d}\right)}}$

求解方法二：根据平板电容公式 $C=\frac{\varepsilon S}{d}$ ，直接得

$C^{\prime}=\frac{\varepsilon}{W^{\prime}}$

1.6 特殊PN结

(1)单边突变结：一边掺杂浓度远大于另一边的PN结称为单边突变结。

$p^{+} n$ 结： $N_{a}>>N_{d}$

(2)线性缓变结： $\rho(x)=\operatorname{eax}$

(3)超突变结 $N=B x^{m}$ 有些超突变结的势垒电容随反偏电压变化很大，可用于制作变容二极管。

二、PN结的电流-电压关系

要计算电流，就要求出电流密度J，而J可以通过δn得出，δn可以通过在Vbi的表达式替换掉n_i而得出。

设PN结加一正偏电压 $V_{a}$ 。正偏时，扩散电流占主导。下面计算此电流大小

(1)计算扩散少子浓度

即计算扩散到n区的p区空穴浓度以及扩散到p区的n区电子浓度。以空穴为例，这可以通过以下关系式实现：

$\begin{array}{l}{V_{b i}=\frac{k T}{e} \ln \frac{N_{a} N_{d}}{n_{i}^{2}}=\frac{k T}{e} \ln \frac{N_{a} N_{d}}{p_{n 0} N_{d}}} \\ {V_{b i}-V_{a}=\frac{k T}{e} \ln \frac{N_{a} N_{d}}{n_{i}^{2}}=\frac{k T}{e} \ln \frac{N_{a} N_{d}}{p_{n} N_{d}}}\end{array}$

两式相减得

$p_{n}=p_{n 0} \mathrm{e}^{\frac{e V_{a}}{k T}} \quad, \quad n_{p}=n_{p 0} \mathrm{e}^{\frac{e V_{a}}{k T}}$

上式建立了PN结加正偏电压时，扩散到另一侧的少子浓度同热平衡少子浓度的关系。那热平衡少子浓度咋知道？答：热平衡少子浓度在一定温度下是常量，可以定义进一个系数里面。

正偏电流是多余载流子引起的，所以

$\delta p_{n}=p_{n}-p_{n 0}=p_{n 0}\left(\mathrm{e}^{\frac{e V a}{k T}}-1\right), \quad \delta n_{p}=n_{p}-n_{p 0}=n_{p 0}\left(\mathrm{e}^{\frac{e V_{a}}{k T}}-1\right)$

(2)计算扩散电流密度

严格的推导需要借助双极输运方程和上面得到的边界条件计算浓度的导数 $\frac{\mathrm{d}(\delta p)}{\mathrm{d} x}$ 的值。略去求这个导数的过程，得到扩散电流密度为

$$\begin{array}{l}{J_{p}=e D_{p}\left(-\frac{\mathrm{d}(\delta p)}{\mathrm{d} x}\right), \quad J_{n}=e D_{n}\left(\frac{\mathrm{d}(\delta n)}{\mathrm{d} x}\right)} \\ {J=J_{p}+J_{n}=J_{s}\left(\mathrm{e}^{\frac{\sigma_{l}}{k T}}-1\right)}\end{array}$$

Js：理想反向饱和电流密度。 $J_{s}=e\left(p_{n 0} \sqrt{\frac{D_{p}}{\tau_{p}}}+n_{p 0} \sqrt{\frac{D_{n}}{\tau_{n}}}\right)$

上式对面积积分即得

$I_{D}=I_{s}\left(\mathrm{e}^{\frac{e V_{a}}{k T}}-1\right)$

三、二极管的小信号模型

3.1 小信号增量电导

$$g_{d}=\frac{\mathrm{d} I_{D}}{\mathrm{d} V_{a}}$$

注：当电压较大时，通常忽略-1项，认为 $I_{D}=I_{s}\left(\mathrm{e}^{\frac{e V_{a}}{k T}}\right)$

3.2 扩散电容

$$C_{d}=\frac{e\left(I_{p 0} \tau_{p 0}+I_{n 0} \tau_{n 0}\right)}{2 k T}$$

扩散电容与势垒电容的区别：①扩散电容是正偏压时少子的电容效应引起的，势垒电容是反偏压时空间电荷的电容效应引起的；②温度一定时，势垒电容随反压增大而减小，扩散电容则约为恒定值；③扩散电容通常比势垒电容大几个数量级。

3.3 二极管等效电路

二极管=PN结+导线电阻 $r_{s}=r_{d} / / C_{d} / / C_{j}+r_{s}$