能带理论1——能带理论简介
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能带理论1——能带理论简介

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能带论是目前研究固体中的电子状态,说明固体性质最重要的理论基础。它的出现是量子力学与量子统计在固体中的应用的最直接、最重要的结果。能带论成功地解决了Sommerfeld自由电子论处理金属问题时所遗留下来的许多问题,并为其后固体物理学的发展奠定了基础。

能带论的基本出发点是认为固体中的电子不再是完全被束缚在某个原子周围,而是可以在整个固体中运动的,称之为共有化电子。但电子在运动过程中并也不像自由电子那样,完全不受任何力的作用,电子在运动过程中受到晶格原子势场的作用。

能带论的两个基本假设:

Born-Oppenhaimer 近似(玻恩-奥本海默绝热近似)

所有原子核都周期性地静止排列在其格点位置上,因而忽略了电子与声子的碰撞。

在统计物理、固体物理中,讨论晶格布里渊区时假定晶格中的原子在平衡位置静止不动。实际上晶体中的原子进行着热振动。这对电子的运动将产生一定的影响。由于原子核的质量比电子的质量要大得多,所以其运动速度比电子慢得多。
由于电子的质量比原子核质量远小得多,所以可以把电子和原子核的运动分开处理,即只考虑原子核对电子的库仑作用,不考虑其他两者的作用,相当于原子核对电子只提供外势.
在B-O近似下,晶体的由电子和原子核形成的多体系统转化为晶格上原子核的经典力学运动和多电子的量子力学运动.原子核的运动近似为简谐振动,简谐振动可以看做许多格波的线性叠加,格波的量子是声子;而相互作用多电子体系用薛定谔方程描述.

Hatree-Fock平均场近似
忽略电子与电子间的相互作用,用平均场代替电子与电子间的相互作用。即假设每个电子所处的势场完全相同,电子的势能只与该电子的位置有关,而与其他电子的位置无关。

能带的形成

孤立原子中电子的分立能级

多原子系统电子能级的分裂

晶体中能带的形成



一维能带结构扩展布里渊区表示

在单原子中电子能级是分立的,这一点是基于量子力学的描述,否则按照经典物理描述能级就是连续的。在晶体中,由多个原子的共同作用使得单能级分裂为N个能级,看起来这些能级就像连续分布的的,我们就叫它能带。于是我们才有了价带、导带、禁带的概念。

(1)导带conduction band

导带是由自由电子形成的能量空间。即固体结构内自由运动的电子所具有的能量范围。对于金属,所有价电子所处的能带就是导带。  

对于半导体,所有价电子所处的能带是所谓价带,比价带能量更高的能带是导带。在绝对零度温度下,半导体的价带(valence band)是满带,受到光电注入或热激发后,价带中的部分电子会越过禁带(forbidden band/band gap)进入能量较高的空带,空带中存在电子后即成为导电的能带——导带。

施主与受主:对于掺杂半导体,电子和空穴大多数是由杂质来提供的。能够提供电子的杂质称为施主;能够提供空穴的杂质称为受主。施主的能级处在靠近导带底的禁带中;受主的能级处在靠近价带顶的禁带中。实际上未掺杂半导体的费米能级在价带和导带的中央附近。n型半导体的费米能级在导带底附近,而p型在价带顶附近。

势能/动能:导带底是导带的最低能级,可看成是电子的势能,通常,电子就处于导带底附近;离开导带底的能量高度,则可看成是电子的动能。当有外场作用到半导体两端时,电子的势能即发生变化,从而在能带图上就表现出导带底发生倾斜;反过来,凡是能带发生倾斜的区域,就必然存在电场(外电场或者内建电场)。

(2)价带与禁带

价带(valence band)或称价电带,通常是指半导体或绝缘体中,在0K时能被电子占满的最高能带。对半导体而言,此能带中的能级基本上是连续的。全充满的能带中的电子不能在固体中自由运动。但若该电子受到光照,它可吸收足够能量而跳入下一个容许的最高能区,从而使价带变成部分充填,此时价带中留下的电子可在固体中自由运动。

禁带(Forbidden Band) 常用来表示价带和导带之间的能态密度为零的能量区间。禁带宽度的大小决定了材料是具有半导体性质还是具有绝缘体性质。半导体的禁带宽度较小,当温度升高时,电子可以被激发传到导带,从而使材料具有导电性。绝缘体的禁带宽度很大,即使在较高的温度下,仍是电的不良导体。无机半导体的禁带宽度从0.1~2.0eV,π-π共轭聚合物的能带隙大致在1.4~4.2eV,绝缘体的禁带宽度大于4.5eV。

(3)导带与价带的关系:

“电子浓度=空穴浓度”,这实际上就是本征半导体的特征,因此可以说,凡是两种载流子浓度相等的半导体,就是本征半导体。

注意:不仅未掺杂的半导体是本征半导体,就是掺杂的半导体,在一定条件下(例如高温下)也可以转变为本征半导体。

空穴,载流子:价带中的许多电子(价电子)并不能导电,而少量的价电子空位——空穴才能导电,故称空穴是载流子。空穴的最低能量——势能,也就是价带顶,通常空穴就处于价带顶附近。

禁带宽度:价带顶与导带底之间的能量差,就是所谓半导体的禁带宽度。这就是产生本征激发所需要的最小平均能量。

能隙(Bandgap energy gap)能带隙,在固态物理学中泛指半导体或是绝缘体的价带(valence band)顶端至传导带(conduction band)底端的能量差距。

能带理论的发展

1900,Drude建立金属自由电子气体模型,解释金属的电导、热导;1928,Sommerfeld引入Fermi-Dirac统计(量子),解释电子的热容量等。
固体的能带理论的建立:1928,F. Bloch 应用量子理论研究固体的电子运动,提出Bloch定理,奠定了现代量子固体物理的基础。1931年,A. H. Wilson 依据能带理论,成功地解释了金属、绝缘体和半导体的差别(定性研究)。
1964, W. Kohn等建立密度泛函理论,借助与计算机,能够定量计算高分子、纳米材料、介观器件等。(精确计算)

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